CÁLCULO DE ÁREA

O cálculo de áreas é utilizado para várias áreas, como: Arquitetura, Urbanismo, Engenharia Civil, e em outras profissões. Este estudo é fundamental para a Topografia, Cartografia e em outras ciências que estudam a Terra com grande aplicação em projetos, levantamentos cadastrais para avaliações, compra e venda de terrenos, desapropriações, levantamento de impostos, partilhas, escrituras, etc.. Onde para a realização de qualquer projeto é necessário conhecer a forma, as dimensões, o relevo, como também a área do terreno onde será implantado o projeto.

Para o cálculo de área são utilizados os seguintes métodos citados abaixo:

1. Terrenos de forma geométrica simples (baseados em áreas de figuras geométricas conhecidas), como: 

A) Retângulo

B) Triângulo Retângulo

C)  Triângulo Qualquer

OBS: A altura (h) corresponde a distância perpendicular da base ao seu vértice oposto.

D) Trapézio

OBS: Para uma forma poder ser definida como trapézio, as bases devem ser paralelas.

E) Círculo

2. Terrenos de formas irregulares (Curva) -  FÓRMULA SIMPSON

 A fórmula de Simpson é utilizada para calcular áreas que apresentam formas irregulares (formas não conhecidas geometricamente), como mostra a figura abaixo:

Para calcular esses tipos de áreas utiliza-se a fórmula a seguir:

Aonde:

      d = Distância entre ordenas

      E = Somatória das ordenadas externas

      I  = Somatória das ordenadas ímpares internas

      P = Somatória das ordenadas pares

1 – Normas de utilização da fórmula de Simpson:

O primeiro passo e traçar uma reta base, a partir da qual vão ser traçadas as ordenadas de forma PERPENDICULAR.

a)   As ordenadas devem ser numeradas a partir de 1 (a primeira deve ser Y₁).

b)    As partes formas entre as ordenadas devem ter uma distância homogênea (d).

c)    As partes devem ser sempre um número PAR de divisões (dando como resultado número ímpar      de ordenadas).

d)    O número de partes mínimo é de 4 (resultando 5 ordenadas).

e)    A distância entre ordenadas não deve ultrapassar 1 cm, em escala de até 1:100, e não mais de        0,5 cm em escalas maiores que 1:100 (1:200, 1:500, etc.)

2 – Significados da fórmula de Simpson:

a)    d = distância entre as ordenadas.

b)    E = somatório do comprimento das ordenadas extremas = Y₁ + Y₁₁.

c)   I = somatório do comprimento das ordenadas impares internas = Y₃+ y₅ + Y₇ + Y₉.

d)    P = somatório do comprimento das ordenadas pares = Y₂+ y₄ + Y₆ + Y₈ + Y₁₀.

Exercício prático passo a passo

1° Passo:

Traçar uma reta base com o maior comprimento possível dentro da ara a ser calculada. As ordenadas deverão ser traçadas perpendiculares à esta.

2° Passo:

Analisar a escala, para saber qual o valor de d a ser utilizado.

Como se trata de uma escala 1:500, deve-se utilizar o d de até 0,5 cm.

Traçar as ordenadas perpendiculares a linha traçada acima.

De acordo com a norma mencionada acima, o numero de ordenadas deve ser um número ímpar. Neste caso devemos calcular por separado, duas áreas: a primeira área até a ordenada Y₂₃ e a segunda área posteriormente.

3° Passo:

Encontrar os valores das variáveis da fórmula de Simpson.

- Cálculo de S₁:

• d = 0,5 cm (segundo a norma mencionada acima, esta distancia depende da escala, neste caso que e maior de 1:100, deve ser de meio centímetro).

• E= somatório das ordenas externas

         Y₁ = 0,6 cm (nas extremidades do terreno, deve-se pegar a distância entre os dois pontos de                    tangência da ordena com a curva do terreno)

              Y₂₃ = 1,5 cm

Portanto, 

E = 0,6 + 1,5 = 2,1 cm

• Ordenadas ímpares (I – somatório do comprimento das ordenadas ímpares internas)

         Y₃ = 2,0 cm

         Y₅ = 2,7 cm

         Y₇ = 3,2 cm

         Y₉ = 3,4 cm

         Y₁₁ = 3,6 cm

         Y₁₃ = 3,6 cm

         Y₁₅ = 3,6 cm

         Y₁₇ = 3,5 cm

         Y₁₉ = 3,3 cm

         Y₂₁ = 2,7 cm

Portanto,

I = 2,0 + 2,7 + 3,2 + 3,4 + 3,6 + 3,6 + 3,6 + 3,5 + 3,3 + 2,7 = 31,6 cm

• P = somatório do comprimento das ordenadas ímpares internas

        Y₂ = 1,4 cm

        Y₄ = 2,4 cm

        Y₆ = 2,9 cm

        Y₈ = 3,3 cm

        Y₁₀ = 3,5 cm

        Y₁₂ = 3,6 cm

        Y₁₄ = 3,6 cm

        Y₁₆ = 3,6 cm

        Y₁₈ = 3,4 cm

        Y₂₀ = 3,0 cm

        Y₂₂ = 2,2 cm

Portanto,

P = 1,4 + 2,4 + 2,9 + 3,3 + 3,5 + 3,6 + 3,6 + 3,6 + 3,4 + 3,0 + 2,2 = 32,9 cm

4° Passo:

Depois que as variáveis foram encontradas, utilizar a fórmula para calcular a área.

S₁ = 1/3 * (0,5) * (2,1 + 2 * 31,6 + 4 * 32,9) = 32,82 cm²

- Cálculo de S₂:

Neste caso usa-se a última ordenada do cálculo anterior para traçar as ordenadas perpendiculares a ela.

Como se trata de uma escala 1:500, deve-se utilizar o d de até 0,5 cm.

Segundo a norma para o cálculo de área, deve-se ter no mínimo 4 partes. Se formos considerar 0,5 cm, então a reta deve ter o equivalente de 2 cm, mas neste caso a reta corresponde a 1,5 cm, então deve-se dividir este valor por 4, ou seja, 4 partes iguais. Então o d corresponde à 0,38.

• E= somatório do comprimento das ordenas externas

         Y₁ = 0 cm (Não possui dois pontos de tangência, trata-se de apenas um ponto)

         Y₅ = 0 cm (Não possui dois pontos de tangência, trata-se de apenas um ponto)

Portanto,

E = 0 + 0 = 0 cm

• I= somatório do comprimento das ordenadas ímpares internas

         Y₃ = 0,5 cm

Portanto, 

I = 0,5 cm

• P = somatório do comprimento das ordenadas pares internas

Y₂ = 0,3 cm

Y₄ = 0,3 cm

Portanto,

P = 0,3 + 0,3 = 0,6 cm

4° Passo:

Depois que as variáveis foram encontradas, utilizar a fórmula para calcular a área.

S₂ = 1/3 * (0,38) * (0 + 2 * 0,5 + 4 * 0,6) = 0,43 cm²

5° Passo:

- Calcular a área total (S_T)

S_T = S₁ + S₂

S_T = 32,82 + 0,43 = 33,25 cm²

6° Passo: Transformar cm² para m² utilizando a escala dada no Exercício

Devido a que todo é medido em centímetros na folha de papel, no final do cálculo o resultado será centímetros quadrados.

Para ter a equivalência com a realidade, deve ser feita a transformação na escala correspondente. Importante lembrar que, tratando-se de superfície, a transformação e feita pelo quadrado da equivalência da escala, ou seja:

Se a escala é 1:500, significa que 1 cm = 500 cm lineais, ou seja 1 cm = 5 m

Mas, se tratando de superfície, considera-se esta distância nas duas dimensões:

Então a cada 1 cm² temos a equivalência de 25 m².

S_T = 33,25 cm² * 25 = 831,25 m²

7° Passo:

Calcular o volume do lago considerando uma profundidade (h) de 1,95 m.

V = S * h

V = 831,25 m² * 1,95 m

V = 1.620,94 m³

EXERCÍCIO DE LEVANTAMENTO DE POLIGONAL - PASSO A PASSO

Se você tem calculadora HP, veja aqui como utiliza-la com o sistema sexagesimal.

a)  Rumos Calculados

Para calcular os Rumos utilizamos a fórmula a seguir:

r = r’ ± d_E,D

r’ = rumo anterior

d_E,D = deflexão para esquerda ou para direita

Utilizamos a regra a seguir, analisando o quadrante do rumo anterior para saber se somamos ou subtraímos na fórmula:

DICA:

Quando o resultado da fórmula for:

·         NEGATIVO = significa que esta mudando de NO ↔ NE e SO ↔ SE (deve-se desconsiderar o sinal)

·         > 90° E < 180° = significa que esta mudando de NO ↔ SO e NE ↔ SE (deve-se subtrair o resultado por 180°)

·         > 180° = significa que esta mudando de NE ↔ SO e NO ↔ SE (deve-se subtrair o resultado por 180°)

OBS: A dica não dispensa a análise do desenho da poligonal.

Ø Rumo de A = não é necessário o cálculo do mesmo, pois este já encontra-se informado no rumo lido.

Análise do desenho: 

Ø Rumo de B

R_B = 59° 59’ + 119° 57’ (subtração, devido a analise do quadrando do rumo anterior – SO)

R_B = – 59° 58’ (como o resultado foi NEGATIVO, deve-se desconsiderar o sinal e significa que está mudando de SO para SE)

R_B = 59° 58’ SE

Análise do desenho:

•  Projetar o Rumo anterior no ponto B

• Indicar a deflexão no ponto B

• Depois de calculado, indicar o Rumo de B 

Ø Rumo de C

R_C = 59° 58’ + 89° 58’ (adição, devido a analise do quadrando do rumo anterior – SE)

R_C = 149° 56’ (como o resultado está entre 90° e 180°, deve-se subtrair 180° do resultado e significa que está mudando de SE para NE)

R_C = 149° 56’ – 180° = 30° 04’ NE

Análise do desenho:

• Projetar o Rumo anterior no ponto C

• Indicar a deflexão no ponto C

• Depois de calculado, indicar o Rumo de C 

Ø Rumo de D

R_D = 30° 04’ – 60° 02’ (subtração, devido a analise do quadrando do rumo anterior – NE)

R_D = – 29° 58’ (como o resultado foi NEGATIVO, deve-se desconsiderar o sinal e significa que está mudando de NE para NO)

R_D = 29° 58’ NO

Análise do desenho:

• Projetar o Rumo anterior no ponto D

• Indicar a deflexão no ponto D

• Depois de calculado, indicar o Rumo de D 

Ø Rumo de A’ = (Por se tratar de uma poligonal fechada é necessário calcular o rumo de A’ para posteriormente calcularmos o Erro da poligonal)

R_A’ = 29° 58’ + 90° 02’ (adição, devido a analise do quadrando do rumo anterior – NO)

R_A’ = 120° 00’ (como o resultado está entre 90° e 180°, deve-se subtrair 180° do resultado e significa que está mudando de NO para SO)

R_A’ = 120° 00’ – 180° = 60° 00’ SO

Análise do desenho:

• Projetar o Rumo anterior no ponto A'

• Indicar a deflexão no ponto A'

• Depois de calculado, indicar o Rumo de A' 

b)  Comprimento dos lados

Para acharmos o comprimento dos lados é necessário calcularmos a coluna ESTACA, onde cada estaca corresponde a 20 metros. Esta coluna corresponde ao comprimento da poligonal, do ponto inicial até um ponto qualquer, ou seja, no último ponto da poligonal (A’) na coluna da estaca, encontramos o perímetro da poligonal, pois corresponde ao comprimento total da poligonal.

	ESTACA
A	0 (Ponto incial)
B	7 + 10,00 (7 * 20 + 10 = 150 m)
C	15 + 12,00 (15 * 20 + 12 = 312 m)
D	19 + 10,50 (19 * 20 + 10,5 = 390,5 m)
A’	0 (Ponto inicial)= 24+10,50 (24 * 20 + 10,5 = 490,5 m)

Após calcular a coluna acima, deve-se calcular a coluna do COMPRIMENTO DOS LADOS. (Para realizamos este cálculo, devemos pegar o valor da linha atual correspondente a coluna ESTACA menos a linha anterior)

	ESTACA	COMPRIMENTO DOS LADOS
A	0 (Ponto incial)	0 m
B	7 + 10,00 (7 * 20 + 10 = 150 m)	150 – 0 = 150 m
C	15 + 12,00 (15 * 20 + 12 = 312 m)	312 – 150 = 162 m
D	19 + 10,50 (19 * 20 + 10,5 = 390,5 m)	390,5 – 312 = 78,5 m
A’	0 (Ponto inicial)= 24+10,50 (24 * 20 + 10,5 = 490,5 m)	490,5 – 390,5 = 100 m

c)  Perímetro da Poligonal (Corresponde ao somatório do comprimento dos lados)

	ESTACA	COMPRIMENTO DOS LADOS
A	0 (Ponto incial)	0 m
B	7 + 10,00 (7 * 20 + 10 = 150 m)	150 – 0 = 150 m
C	15 + 12,00 (15 * 20 + 12 = 312 m)	312 – 150 = 162 m
D	19 + 10,50 (19 * 20 + 10,5 = 390,5 m)	390,5 – 312 = 78,5 m
A’	0 (Ponto inicial)= 24+10,50 (24 * 20 + 10,5 = 490,5 m)	490,5 – 390,5 = 100 m
	Perímetro	490,5 m

DICA:

Para conferir os cálculos, o somatório do comprimento dos lados deve ser igual ao resultado da ultima linha da coluna ESTACA.

d) Erro de fechamento angular, corresponde a fórmula a seguir:

Erro = Σd_D – Σd_E ± 360°

Erro =  (0) – (119° 57’ + 89° 58’ + 60° 02’ + 90° 02’) + 360° = 0° 01’

DICA:

Quando o resultado de Σd_D – Σd_E, for NEGATIVO deve-se somar 360°, mas quando for POSITIVO deve-se subtrair 360°.

e)  Se a poligonal pode ou não ser aceita, sendo o aparelho usado de grande precisão;

Para sabermos se ela pode ou não ser aceito é necessário calcularmos o LIMITE DO ERRO, de acordo com a formula a seguir:

ϴ = Depende do aparelho, pois existem Aparelhos de Grande Precisão (0° 0’ 57’’) e de Média Precisão (0° 02’ 30’’).

n = número de lados

Resposta: Como o Erro (0° 01’) < LE (0° 03’ 48’’), a poligonal pode ser aceita.

f)   Se a poligonal é aberta ou fechada.

Resposta: Como o ponto inicial e o final correspondem ao mesmo ponto, significa que a Poligonal é Fechada.

Resposta Final:

EXERCÍCIO PASSO A PASSO - SE

Se você tem calculadora HP, veja aqui como utiliza-la com o sistema sexagesimal.

A) DECLINAÇÃO ATUAL:

1º Indicar o Norte Magnético de 1963 conforme o enunciado.

2º Indicar o Norte Magnético atual através da Variação Total.

TEMPO = 2014 - 1963 = 51 anos

VARIAÇÃO TOTAL = 51 x 0º 12' = 10º 12' OC

3º Declinação atual

DECLINAÇÃO 2014 = 10º 12' - 3º 40' = 6º 32' OC

LOCALIZAÇÃO DO EIXO

De acordo com enunciado: Um levantamento topográfico realizado em 1963, projetou um eixo em um aeroporto, cujo o rumo era de 72° 36' 44'' SE.

Como o eixo encontra-se no quadrante SE é necessário indicar os ângulos representados nos quadrantes de cima, para os quadrantes de baixo, ou seja, aplicar a teoria dos ângulos opostos.

B) RUMO MAGNÉTICO ATUAL

RUMO MAGNÉTICO 2014 = 72º 36' 44" - 10º 12' = 62º 24' 44" SE

C) RUMO VERDADEIRO

OBS: O Rumo Verdadeiro é o mesmo para qualquer ano, pois o Norte Verdadeiro é imutável.

RUMO VERDADEIRO = 72º 36' 44" - 3º 40' = 68º 56' 44" SE

D) RUMO MAGNÉTICO DE 1963

OBS: Informado no enunciado. Não precisa fazer outra indicação.

RUMO MAGNÉTICO 1963 = 72° 36' 44'' SE

E) AZIMUTE MAGNÉTICO ATUAL

AZIMUTE MAGNÉTICO 2014 = 180º - 62º 24' 44" = 117º 35' 16"

F) AZIMUTE VERDADEIRO

AZIMUTE VERDADEIRO = 180º - 68º 56' 44" = 111º 03' 16"

G) AZIMUTE MAGNÉTICO DE 1963

AZIMUTE MAGNÉTICO 1963 = 180° - 72° 36' 44'' = 107° 23' 16''

H) ANO DE DECLINAÇÃO NULA

3º 40' / 0º 12' = 18,33 anos,  desconsiderar as casas decimais.

1963 + 18 = 1981