CÁLCULO DE ÁREA

O cálculo de áreas é utilizado para várias áreas, como: Arquitetura, Urbanismo, Engenharia Civil, e em outras profissões. Este estudo é fundamental para a Topografia, Cartografia e em outras ciências que estudam a Terra com grande aplicação em projetos, levantamentos cadastrais para avaliações, compra e venda de terrenos, desapropriações, levantamento de impostos, partilhas, escrituras, etc.. Onde para a realização de qualquer projeto é necessário conhecer a forma, as dimensões, o relevo, como também a área do terreno onde será implantado o projeto.

Para o cálculo de área são utilizados os seguintes métodos citados abaixo:

1. Terrenos de forma geométrica simples (baseados em áreas de figuras geométricas conhecidas), como: 

A) Retângulo

B) Triângulo Retângulo

C)  Triângulo Qualquer

OBS: A altura (h) corresponde a distância perpendicular da base ao seu vértice oposto.

D) Trapézio

OBS: Para uma forma poder ser definida como trapézio, as bases devem ser paralelas.

E) Círculo

2. Terrenos de formas irregulares (Curva) -  FÓRMULA SIMPSON

 A fórmula de Simpson é utilizada para calcular áreas que apresentam formas irregulares (formas não conhecidas geometricamente), como mostra a figura abaixo:

Para calcular esses tipos de áreas utiliza-se a fórmula a seguir:

Aonde:

      d = Distância entre ordenas

      E = Somatória das ordenadas externas

      I  = Somatória das ordenadas ímpares internas

      P = Somatória das ordenadas pares

1 – Normas de utilização da fórmula de Simpson:

O primeiro passo e traçar uma reta base, a partir da qual vão ser traçadas as ordenadas de forma PERPENDICULAR.

a)   As ordenadas devem ser numeradas a partir de 1 (a primeira deve ser Y₁).

b)    As partes formas entre as ordenadas devem ter uma distância homogênea (d).

c)    As partes devem ser sempre um número PAR de divisões (dando como resultado número ímpar      de ordenadas).

d)    O número de partes mínimo é de 4 (resultando 5 ordenadas).

e)    A distância entre ordenadas não deve ultrapassar 1 cm, em escala de até 1:100, e não mais de        0,5 cm em escalas maiores que 1:100 (1:200, 1:500, etc.)

2 – Significados da fórmula de Simpson:

a)    d = distância entre as ordenadas.

b)    E = somatório do comprimento das ordenadas extremas = Y₁ + Y₁₁.

c)   I = somatório do comprimento das ordenadas impares internas = Y₃+ y₅ + Y₇ + Y₉.

d)    P = somatório do comprimento das ordenadas pares = Y₂+ y₄ + Y₆ + Y₈ + Y₁₀.

Exercício prático passo a passo

1° Passo:

Traçar uma reta base com o maior comprimento possível dentro da ara a ser calculada. As ordenadas deverão ser traçadas perpendiculares à esta.

2° Passo:

Analisar a escala, para saber qual o valor de d a ser utilizado.

Como se trata de uma escala 1:500, deve-se utilizar o d de até 0,5 cm.

Traçar as ordenadas perpendiculares a linha traçada acima.

De acordo com a norma mencionada acima, o numero de ordenadas deve ser um número ímpar. Neste caso devemos calcular por separado, duas áreas: a primeira área até a ordenada Y₂₃ e a segunda área posteriormente.

3° Passo:

Encontrar os valores das variáveis da fórmula de Simpson.

- Cálculo de S₁:

• d = 0,5 cm (segundo a norma mencionada acima, esta distancia depende da escala, neste caso que e maior de 1:100, deve ser de meio centímetro).

• E= somatório das ordenas externas

         Y₁ = 0,6 cm (nas extremidades do terreno, deve-se pegar a distância entre os dois pontos de                    tangência da ordena com a curva do terreno)

              Y₂₃ = 1,5 cm

Portanto, 

E = 0,6 + 1,5 = 2,1 cm

• Ordenadas ímpares (I – somatório do comprimento das ordenadas ímpares internas)

         Y₃ = 2,0 cm

         Y₅ = 2,7 cm

         Y₇ = 3,2 cm

         Y₉ = 3,4 cm

         Y₁₁ = 3,6 cm

         Y₁₃ = 3,6 cm

         Y₁₅ = 3,6 cm

         Y₁₇ = 3,5 cm

         Y₁₉ = 3,3 cm

         Y₂₁ = 2,7 cm

Portanto,

I = 2,0 + 2,7 + 3,2 + 3,4 + 3,6 + 3,6 + 3,6 + 3,5 + 3,3 + 2,7 = 31,6 cm

• P = somatório do comprimento das ordenadas ímpares internas

        Y₂ = 1,4 cm

        Y₄ = 2,4 cm

        Y₆ = 2,9 cm

        Y₈ = 3,3 cm

        Y₁₀ = 3,5 cm

        Y₁₂ = 3,6 cm

        Y₁₄ = 3,6 cm

        Y₁₆ = 3,6 cm

        Y₁₈ = 3,4 cm

        Y₂₀ = 3,0 cm

        Y₂₂ = 2,2 cm

Portanto,

P = 1,4 + 2,4 + 2,9 + 3,3 + 3,5 + 3,6 + 3,6 + 3,6 + 3,4 + 3,0 + 2,2 = 32,9 cm

4° Passo:

Depois que as variáveis foram encontradas, utilizar a fórmula para calcular a área.

S₁ = 1/3 * (0,5) * (2,1 + 2 * 31,6 + 4 * 32,9) = 32,82 cm²

- Cálculo de S₂:

Neste caso usa-se a última ordenada do cálculo anterior para traçar as ordenadas perpendiculares a ela.

Como se trata de uma escala 1:500, deve-se utilizar o d de até 0,5 cm.

Segundo a norma para o cálculo de área, deve-se ter no mínimo 4 partes. Se formos considerar 0,5 cm, então a reta deve ter o equivalente de 2 cm, mas neste caso a reta corresponde a 1,5 cm, então deve-se dividir este valor por 4, ou seja, 4 partes iguais. Então o d corresponde à 0,38.

• E= somatório do comprimento das ordenas externas

         Y₁ = 0 cm (Não possui dois pontos de tangência, trata-se de apenas um ponto)

         Y₅ = 0 cm (Não possui dois pontos de tangência, trata-se de apenas um ponto)

Portanto,

E = 0 + 0 = 0 cm

• I= somatório do comprimento das ordenadas ímpares internas

         Y₃ = 0,5 cm

Portanto, 

I = 0,5 cm

• P = somatório do comprimento das ordenadas pares internas

Y₂ = 0,3 cm

Y₄ = 0,3 cm

Portanto,

P = 0,3 + 0,3 = 0,6 cm

4° Passo:

Depois que as variáveis foram encontradas, utilizar a fórmula para calcular a área.

S₂ = 1/3 * (0,38) * (0 + 2 * 0,5 + 4 * 0,6) = 0,43 cm²

5° Passo:

- Calcular a área total (S_T)

S_T = S₁ + S₂

S_T = 32,82 + 0,43 = 33,25 cm²

6° Passo: Transformar cm² para m² utilizando a escala dada no Exercício

Devido a que todo é medido em centímetros na folha de papel, no final do cálculo o resultado será centímetros quadrados.

Para ter a equivalência com a realidade, deve ser feita a transformação na escala correspondente. Importante lembrar que, tratando-se de superfície, a transformação e feita pelo quadrado da equivalência da escala, ou seja:

Se a escala é 1:500, significa que 1 cm = 500 cm lineais, ou seja 1 cm = 5 m

Mas, se tratando de superfície, considera-se esta distância nas duas dimensões:

Então a cada 1 cm² temos a equivalência de 25 m².

S_T = 33,25 cm² * 25 = 831,25 m²

7° Passo:

Calcular o volume do lago considerando uma profundidade (h) de 1,95 m.

V = S * h

V = 831,25 m² * 1,95 m

V = 1.620,94 m³