sábado, 19 de abril de 2014

CÁLCULO DE ÁREA


O cálculo de áreas é utilizado para várias áreas, como: Arquitetura, Urbanismo, Engenharia Civil, e em outras profissões. Este estudo é fundamental para a Topografia, Cartografia e em outras ciências que estudam a Terra com grande aplicação em projetos, levantamentos cadastrais para avaliações, compra e venda de terrenos, desapropriações, levantamento de impostos, partilhas, escrituras, etc.. Onde para a realização de qualquer projeto é necessário conhecer a forma, as dimensões, o relevo, como também a área do terreno onde será implantado o projeto.

Para o cálculo de área são utilizados os seguintes métodos citados abaixo:

1. Terrenos de forma geométrica simples (baseados em áreas de figuras geométricas conhecidas), como: 


A) Retângulo



B) Triângulo Retângulo


C)  Triângulo Qualquer


OBS: A altura (h) corresponde a distância perpendicular da base ao seu vértice oposto.

D) Trapézio


OBS: Para uma forma poder ser definida como trapézio, as bases devem ser paralelas.

E) Círculo


2. Terrenos de formas irregulares (Curva) -  FÓRMULA SIMPSON

 A fórmula de Simpson é utilizada para calcular áreas que apresentam formas irregulares (formas não conhecidas geometricamente), como mostra a figura abaixo:



Para calcular esses tipos de áreas utiliza-se a fórmula a seguir:



Aonde:
      d = Distância entre ordenas
      E = Somatória das ordenadas externas
      I  = Somatória das ordenadas ímpares internas
      P = Somatória das ordenadas pares


1 – Normas de utilização da fórmula de Simpson:
O primeiro passo e traçar uma reta base, a partir da qual vão ser traçadas as ordenadas de forma PERPENDICULAR.


a)   As ordenadas devem ser numeradas a partir de 1 (a primeira deve ser Y1).
b)    As partes formas entre as ordenadas devem ter uma distância homogênea (d).
c)    As partes devem ser sempre um número PAR de divisões (dando como resultado número ímpar      de ordenadas).
d)    O número de partes mínimo é de 4 (resultando 5 ordenadas).
e)    A distância entre ordenadas não deve ultrapassar 1 cm, em escala de até 1:100, e não mais de        0,5 cm em escalas maiores que 1:100 (1:200, 1:500, etc.)


2 – Significados da fórmula de Simpson:

a)    d = distância entre as ordenadas.



b)    E = somatório do comprimento das ordenadas extremas = Y1 + Y11.


c)   I = somatório do comprimento das ordenadas impares internas = Y3+ y5 + Y7 + Y9.


d)    P = somatório do comprimento das ordenadas pares = Y2+ y4 + Y6 + Y8 + Y10.


Exercício prático passo a passo



1° Passo:

Traçar uma reta base com o maior comprimento possível dentro da ara a ser calculada. As ordenadas deverão ser traçadas perpendiculares à esta.



2° Passo:

Analisar a escala, para saber qual o valor de d a ser utilizado.
Como se trata de uma escala 1:500, deve-se utilizar o d de até 0,5 cm.
Traçar as ordenadas perpendiculares a linha traçada acima.


De acordo com a norma mencionada acima, o numero de ordenadas deve ser um número ímpar. Neste caso devemos calcular por separado, duas áreas: a primeira área até a ordenada Y23 e a segunda área posteriormente.


3° Passo:

Encontrar os valores das variáveis da fórmula de Simpson.

- Cálculo de S1:


  • d = 0,5 cm (segundo a norma mencionada acima, esta distancia depende da escala, neste caso que e maior de 1:100, deve ser de meio centímetro).
  • E= somatório das ordenas externas

         Y1 = 0,6 cm (nas extremidades do terreno, deve-se pegar a distância entre os dois pontos de                    tangência da ordena com a curva do terreno)

              Y23 = 1,5 cm


Portanto, 
E = 0,6 + 1,5 = 2,1 cm

  • Ordenadas ímpares (I – somatório do comprimento das ordenadas ímpares internas)

         Y3 = 2,0 cm
         Y5 = 2,7 cm
         Y7 = 3,2 cm
         Y9 = 3,4 cm
         Y11 = 3,6 cm
         Y13 = 3,6 cm
         Y15 = 3,6 cm
         Y17 = 3,5 cm
         Y19 = 3,3 cm
         Y21 = 2,7 cm


Portanto,
I = 2,0 + 2,7 + 3,2 + 3,4 + 3,6 + 3,6 + 3,6 + 3,5 + 3,3 + 2,7 = 31,6 cm

  • P = somatório do comprimento das ordenadas ímpares internas

        Y2 = 1,4 cm
        Y4 = 2,4 cm
        Y6 = 2,9 cm
        Y8 = 3,3 cm
        Y10 = 3,5 cm
        Y12 = 3,6 cm
        Y14 = 3,6 cm
        Y16 = 3,6 cm
        Y18 = 3,4 cm
        Y20 = 3,0 cm
        Y22 = 2,2 cm


Portanto,
P = 1,4 + 2,4 + 2,9 + 3,3 + 3,5 + 3,6 + 3,6 + 3,6 + 3,4 + 3,0 + 2,2 = 32,9 cm

4° Passo:

Depois que as variáveis foram encontradas, utilizar a fórmula para calcular a área.


S1 = 1/3 * (0,5) * (2,1 + 2 * 31,6 + 4 * 32,9) = 32,82 cm2

- Cálculo de S2:

Neste caso usa-se a última ordenada do cálculo anterior para traçar as ordenadas perpendiculares a ela.

Como se trata de uma escala 1:500, deve-se utilizar o d de até 0,5 cm.

Segundo a norma para o cálculo de área, deve-se ter no mínimo 4 partes. Se formos considerar 0,5 cm, então a reta deve ter o equivalente de 2 cm, mas neste caso a reta corresponde a 1,5 cm, então deve-se dividir este valor por 4, ou seja, 4 partes iguais. Então o d corresponde à 0,38.


  • E= somatório do comprimento das ordenas externas

         Y1 = 0 cm (Não possui dois pontos de tangência, trata-se de apenas um ponto)
         Y5 = 0 cm (Não possui dois pontos de tangência, trata-se de apenas um ponto)


Portanto,
E = 0 + 0 = 0 cm
  • I= somatório do comprimento das ordenadas ímpares internas

         Y3 = 0,5 cm


Portanto, 
I = 0,5 cm
  • P = somatório do comprimento das ordenadas pares internas

Y2 = 0,3 cm
Y4 = 0,3 cm


Portanto,
P = 0,3 + 0,3 = 0,6 cm


4° Passo:

Depois que as variáveis foram encontradas, utilizar a fórmula para calcular a área.


S2 = 1/3 * (0,38) * (0 + 2 * 0,5 + 4 * 0,6) = 0,43 cm2

5° Passo:

- Calcular a área total (ST)

ST = S1 + S2

ST = 32,82 + 0,43 = 33,25 cm2


6° Passo: Transformar cm2 para m2 utilizando a escala dada no Exercício

Devido a que todo é medido em centímetros na folha de papel, no final do cálculo o resultado será centímetros quadrados.

Para ter a equivalência com a realidade, deve ser feita a transformação na escala correspondente. Importante lembrar que, tratando-se de superfície, a transformação e feita pelo quadrado da equivalência da escala, ou seja:

Se a escala é 1:500, significa que 1 cm = 500 cm lineais, ou seja 1 cm = 5 m


Mas, se tratando de superfície, considera-se esta distância nas duas dimensões:


Então a cada 1 cm2 temos a equivalência de 25 m2.

ST = 33,25 cm2 * 25 = 831,25 m2


7° Passo:

Calcular o volume do lago considerando uma profundidade (h) de 1,95 m.

V = S * h

V = 831,25 m2 * 1,95 m

V = 1.620,94 m3