O cálculo de áreas é utilizado
para várias áreas, como: Arquitetura, Urbanismo, Engenharia Civil, e em outras
profissões. Este estudo é fundamental para a Topografia, Cartografia e em
outras ciências que estudam a Terra com grande aplicação em projetos,
levantamentos cadastrais para avaliações, compra e venda de terrenos,
desapropriações, levantamento de impostos, partilhas, escrituras, etc.. Onde para
a realização de qualquer projeto é necessário conhecer a forma, as dimensões,
o relevo, como também a área do terreno onde será implantado o projeto.
Para o cálculo de área são
utilizados os seguintes métodos citados abaixo:
1. Terrenos de forma geométrica simples (baseados em áreas de figuras geométricas conhecidas), como:
A) Retângulo
B) Triângulo Retângulo
C) Triângulo
Qualquer
OBS: A altura (h) corresponde a distância
perpendicular da base ao seu vértice oposto.
D) Trapézio
OBS: Para uma forma poder ser definida como
trapézio, as bases devem ser paralelas.
E) Círculo
2. Terrenos de formas irregulares (Curva) - FÓRMULA SIMPSON
A fórmula de Simpson é utilizada para calcular áreas que
apresentam formas irregulares (formas não conhecidas geometricamente), como
mostra a figura abaixo:
Para calcular esses tipos de áreas utiliza-se a
fórmula a seguir:
Aonde:
d = Distância entre ordenas
E =
Somatória das ordenadas externas
I =
Somatória das ordenadas ímpares internas
P = Somatória das ordenadas
1 – Normas de utilização
da fórmula de Simpson:
O primeiro passo e traçar uma
reta base, a partir da qual vão ser traçadas as ordenadas de forma
PERPENDICULAR.
a) As ordenadas devem ser numeradas a partir de 1
(a primeira deve ser Y1).
b)
As partes formas entre as ordenadas devem ter uma
distância homogênea (d).
c)
As partes devem ser sempre um número PAR de
divisões (dando como resultado número ímpar de ordenadas).
d)
O número de partes mínimo é de 4 (resultando 5
ordenadas).
e)
A distância entre ordenadas não deve ultrapassar
1 cm, em escala de até 1:100, e não mais de 0,5 cm em escalas maiores que 1:100
(1:200, 1:500, etc.)
2 – Significados da fórmula
de Simpson:
a)
d = distância entre as ordenadas.
b)
E = somatório do comprimento das ordenadas
extremas = Y1 + Y11.
c) I = somatório do comprimento das ordenadas
impares internas = Y3+ y5 + Y7 + Y9.
d)
P = somatório do comprimento das ordenadas pares
= Y2+ y4 + Y6 + Y8 + Y10.
Exercício prático passo a passo
1° Passo:
Traçar uma reta base
com o maior comprimento possível dentro da ara a ser calculada. As ordenadas deverão
ser traçadas perpendiculares à esta.
2° Passo:
Analisar a escala, para saber qual o valor de d a ser utilizado.
Como se trata de uma escala 1:500, deve-se utilizar o d de até 0,5 cm.
Traçar as ordenadas perpendiculares a linha traçada acima.
De
acordo com a norma mencionada acima, o numero de ordenadas deve ser um número
ímpar. Neste caso devemos calcular por separado, duas áreas: a primeira área
até a ordenada Y23 e a segunda área posteriormente.
3° Passo:
Encontrar os valores das variáveis da fórmula de Simpson.
- Cálculo
de S1:
- d = 0,5 cm (segundo a norma mencionada acima, esta distancia depende da escala, neste caso que e maior de 1:100, deve ser de meio centímetro).
- E= somatório das ordenas externas
Y1 = 0,6 cm (nas extremidades do
terreno, deve-se pegar a distância entre os dois pontos de tangência da ordena
com a curva do terreno)
Y23 = 1,5 cm
Portanto,
E = 0,6 + 1,5 = 2,1
cm
- Ordenadas ímpares (I – somatório do comprimento das ordenadas ímpares internas)
Y5
= 2,7 cm
Y7
= 3,2 cm
Y9
= 3,4 cm
Y11
= 3,6 cm
Y13
= 3,6 cm
Y15
= 3,6 cm
Y17
= 3,5 cm
Y19
= 3,3 cm
Y21
= 2,7 cm
Portanto,
I =
2,0 + 2,7 + 3,2 + 3,4 + 3,6 + 3,6 + 3,6 + 3,5 + 3,3 + 2,7 = 31,6 cm
- P = somatório do comprimento das ordenadas ímpares internas
Y4 = 2,4 cm
Y6 = 2,9 cm
Y8 = 3,3 cm
Y10 = 3,5 cm
Y12 = 3,6 cm
Y14 = 3,6 cm
Y16 = 3,6 cm
Y18 = 3,4 cm
Y20 = 3,0 cm
Y22 = 2,2 cm
Portanto,
P = 1,4 + 2,4 + 2,9 + 3,3 + 3,5 +
3,6 + 3,6 + 3,6 + 3,4 + 3,0 + 2,2 = 32,9 cm
4° Passo:
Depois que as variáveis foram
encontradas, utilizar a fórmula para calcular a área.
S1 = 1/3 * (0,5) * (2,1 + 2 * 31,6 +
4 * 32,9) = 32,82 cm2
- Cálculo de S2:
Neste caso usa-se a última
ordenada do cálculo anterior para traçar as ordenadas perpendiculares a ela.
Como se trata de uma escala 1:500, deve-se utilizar o d de até 0,5 cm.
Segundo
a norma para o cálculo de área, deve-se ter no mínimo 4 partes. Se formos
considerar 0,5 cm, então a reta deve ter o equivalente de 2 cm, mas neste caso
a reta corresponde a 1,5 cm, então deve-se dividir este valor por 4, ou seja, 4
partes iguais. Então o d corresponde à 0,38.
- E= somatório do comprimento das ordenas externas
Portanto,
E =
0 + 0 = 0 cm
- I= somatório do comprimento das ordenadas ímpares internas
Portanto,
I =
0,5 cm
- P = somatório do comprimento das ordenadas pares internas
Y2
= 0,3 cm
Y4
= 0,3 cm
Portanto,
P =
0,3 + 0,3 = 0,6 cm
4° Passo:
Depois
que as variáveis foram encontradas, utilizar a fórmula para calcular a área.
S2 = 1/3 * (0,38) * (0 + 2 * 0,5 + 4
* 0,6) = 0,43 cm2
5° Passo:
- Calcular a área total (ST)
ST = S1 + S2
ST = 32,82 + 0,43 =
33,25 cm2
6° Passo: Transformar cm2 para m2 utilizando a escala dada
no Exercício
Devido a que todo é medido em
centímetros na folha de papel, no final do cálculo o resultado será centímetros
quadrados.
Para ter a equivalência com a
realidade, deve ser feita a transformação na escala correspondente. Importante
lembrar que, tratando-se de superfície, a transformação e feita pelo quadrado
da equivalência da escala, ou seja:
Se
a escala é 1:500, significa que 1 cm = 500 cm lineais, ou seja 1 cm = 5 m
Mas, se tratando de superfície, considera-se
esta distância nas duas dimensões:
Então a cada 1 cm2 temos
a equivalência de 25 m2.
ST = 33,25 cm2
* 25 = 831,25 m2
7° Passo:
Calcular o volume do lago
considerando uma profundidade (h) de 1,95 m.
V = S * h
V = 831,25 m2 * 1,95 m
V =
1.620,94 m3
